Himpunan Bagian, Himpunan Kuasa, Operasi Dasar Himpunan

Matematika & Ilmu Alamiah Dasar (IAD)

Himpunan ke-2

Himpunan Bagian, Himpunan Kuasa, Operasi Dasar Himpunan

• Himpunan Bagian (subset)

Himpunan A dikatakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B.

A dikatakan subset dari B dan B dikatakan superset dari A.

Notasi: A ⊆ B.

Diagram Venn:

• Himpunan Kuasa

Himpunan Kuasa (Power Set)

Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemen-elemennya merupakan semua himpunan bagian (subset) dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri.

Notasi: P(A) atau 2 pangkat A.

Misalkan kardinalitas himpunan A adalah n, maka kardinalitas

dari P(A) = 2 pangkat n.

Contoh:

1. A = {Ani}

|A| = 1 maka |P(A)| = 2 pangkat 1 = 2.

P(A) = {{ }, A}

2. B = {Ani, Budi}

|B| = 2 maka |P(B)| = 2 pangkat 2 = 4.

P(B) = {{ }, B, {Ani}, {Budi}}

3. C = {Ani, Budi, Citra}

|C| = 3 maka |P(C)| = 23 = 8.

P(C) = {{ }, C, {Ani}, {Budi}, {Citra}, {Ani, Budi}, {Ani, Citra}, {Budi, Citra}}

• Operasi Dasar Himpunan

1. Irisan (Intersection)

2. Gabungan (Union)

3. Komplemen (Complement)

4. Selisih (Difference)

5. Selisih Simetri (Symmetric Difference)

6. Perkalian Kartesian (Cartesian Product)

1. Irisan

Irisan dari himpunan A dan B adalah sebuah himpunan yang setiap elemennya merupakan elemen dari himpunan A dan himpunan B.

Contoh:

A = {Jakarta, Surabaya}

B = {Jakarta, Surabaya, {Serang, Semarang}}

C = {Semarang, Yogyakarta}

maka

A n B = {Jakarta, Surabaya}

A n C = { }

B n C = { }

A n { } = { }

2. Gabungan

Gabungan dari himpunan A dan B adalah sebuah himpunan yang setiap elemennya merupakan elemen dari himpunan A atau himpunan B.

Contoh:

A = {Jakarta, Surabaya}

B = {Jakarta, Surabaya, {Serang, Semarang}}

C = {Semarang, Yogyakarta}

maka

A U B = {Jakarta, Surabaya, {Serang, Semarang}}

A U C = {Jakarta, Surabaya, Semarang, Yogyakarta}

B U C = {Jakarta, Surabaya, {Serang, Semarang}, Semarang, Yogyakarta}

A U { } = A

3. Komplemen

Komplemen dari suatu himpunan A terhadap suatu himpunan semesta U adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan elemen U tetapi bukan elemen A.

Contoh:

U = {Jakarta, Semarang, Yogyakarta, Surabaya, {Serang, Semarang}}

A = {Jakarta, Surabaya}

B = {Surabaya, {Serang, Semarang}}

maka

A pangkat C = {Semarang, Yogyakarta, {Serang, Semarang}}

B pangkat C = {Jakarta, Semarang, Yogyakarta}

4. Selisih

Selisih dari dua himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan elemen dari A tetapi bukan elemen dari B.

4. Selisih lanjutan

Contoh:

A = {Jakarta, Surabaya}

B = {Jakarta, Surabaya, {Serang, Semarang}}

C = {Semarang, Yogyakarta}

maka

A – B = { }

B – A = {{Serang, Semarang}}

A – C = {Jakarta, Surabaya} = A

C – A = {Semarang, Yogyakarta} = C

B – C = {Jakarta, Surabaya, {Serang, Semarang}} = B

C – B = {Semarang, Yogyakarta} = C

A – { } = A

{ } – A = { }

5. Selisih Simetri

Selisih simetri dari himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang elemennya ada pada himpunan A atau B tetapi tidak pada keduanya.

Contoh:

A = {Jakarta, Surabaya}

B = {Jakarta, Surabaya, {Serang, Semarang}}

C = {Semarang, Yogyakarta}

maka

A ∆ B = {Jakarta, Surabaya, {Serang, Semarang}} – {Jakarta, Surabaya}

= {{Serang, Semarang}}

A ∆ C = {Jakarta, Surabaya, Semarang, Yogyakarta} – { }

= {Jakarta, Surabaya, Semarang, Yogyakarta}

B ∆ C = {Jakarta, Surabaya, {Serang, Semarang}, Semarang, Yogyakarta} – { }

= {Jakarta, Surabaya, {Serang, Semarang}, Semarang, Yogyakarta}

A ∆ { } = (A  { }) – (A  { }) = A – { } = A

6. Perkalian Kartesian

Perkalian kartesian dari himpunan A dan B adalah himpunan yang elemennya semua pasangan berurutan yang dibentuk dari komponen pertama dari himpunan A dan komponen kedua dari himpunan B.

Contoh:

A = {Jakarta, Surabaya}

B = {Jakarta, Surabaya, {Serang, Semarang}}

maka

A x B = {(Jakarta, Jakarta), (Jakarta, Surabaya), (Jakarta, {Serang, Semarang}), (Surabaya,

Jakarta), (Surabaya, Surabaya), (Surabaya, {Serang, Semarang})}

|A x B| = |A| x |B| = 2 x 3 = 6

B x A = {(Jakarta, Jakarta), (Jakarta, Surabaya), (Surabaya, Jakarta), (Surabaya, Surabaya),

({Serang, Semarang}, Jakarta), ({Serang, Semarang}, Surabaya)}

|B x A| = |B| x |A| = 3 x 2 = 6

A x B ≠ B x A

|A x B| = |B x A| = 6

Daftar Pustaka

Indarti, Dina. (2024). Himpunan. Depok: UG