Hukum-hukum Aljabar, Himpunan, Prinsip Dualitas, Prinsip Inklusi Eksklusi

Matematika & Ilmu Alamiah Dasar (IAD)

Himpunan ke-3

Hukum-hukum Aljabar, Himpunan, Prinsip Dualitas, Prinsip Inklusi Eksklusi

• Hukum-hukum Aljabar

Hukum Aljabar adalah hukum matematika yang dipergunakan dalam pengoperasian persoalan matematika. Hukum Aljabar yang kali ini dipelajari adalah sebagai berikut.

Contoh:

• Prinsip Dualitas

Prinsip dualitas menyatakan bahwa dua konsep yang berbeda dapat dipertukarkan namun tetap memberikan jawaban yang benar

Contoh:

• Amerika Serikat

- kemudi mobil di kiri depan,

- mobil harus berjalan di bagian kanan jalan,

- pada jalan yang berlajur banyak, lajur kiri untuk mendahului,

- jika lampu merah menyala, mobil belok kanan boleh langsung.

• Indonesia

- kemudi mobil di kanan depan.

- mobil harus berjalan di bagian kiri jalan,

- pada jalur yang berlajur banyak, lajur kanan untuk mendahului,

- jika lampu merah menyala, mobil belok kiri boleh langsung.

Konsep kiri dan kanan dapat dipertukarkan pada kedua negara tersebut sehingga peraturan yang berlaku di Amerika Serikat menjadi berlaku pula di Indonesia.

Prinsip Dualitas pada Himpunan

Misalkan S adalah suatu kesamaan yang melibatkan himpunan dan operasi-operasi seperti U, n, dan komplemen. Jika S* diperoleh dari S dengan mengganti

n → U

U → n

{ } → U

U → { }

sedangkan komplemen dibiarkan seperti semula, maka kesamaan S* juga benar dan disebut dual dari kesamaan S.

Prinsip Dualitas

Prinsip Inklusi dan Eksklusi

Jika diberikan dua himpunan A dan B maka

|A U B| = |A| + |B| – |A n B|

dan

|A + B| = |A U B| – |A n B| = |A| + |B| – 2 |A n B|.

1) Contoh:

Misalkan ada 567 mahasiswa angkatan 2020 jurusan Ilmu Komunikasi pada sebuah universitas di Jakarta yang mengambil kuliah Matematika, 456 mahasiswa yang mengambil kuliah Statistika, dan 123 orang mahasiswa yang mengambil kuliah Matematika dan Statistika. Ada berapa mahasiswa yang mengambil kuliah Matematika atau Statistika?

Penyelesaian:

Misalkan

A = himpunan mahasiswa yang mengambil kuliah Matematika → |A| = 567

B = himpunan mahasiswa yang mengambil kuliah Statistika → |B| = 456

A n B = himpunan mahasiswa yang mengambil kuliah Matematika dan Statistika

→ |A n B| = 123

A U B = himpunan mahasiswa yang mengambil kuliah Matematika atau Statistika

→ |A U B| = ?

|A U B| = |A| + |B| – |A n B|

= 567 + 456 – 123

= 900

2) Contoh:

Berapa banyaknya bilangan bulat antara 1 dan 100 yang habis dibagi 2 atau 5?

Penyelesaian:

Misalkan

A = himpunan bilangan bulat 1 – 100 yang habis dibagi 2,

B = himpunan bilangan bulat 1 – 100 yang habis dibagi 5,

A n B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 2 dan 3 (KPK dari 2 dan 3, yaitu 6),

B n C = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3 dan 5 (KPK dari 3 dan 5, yaitu 15),

A n C = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 2 dan 5 (KPK dari 2 dan 5, yaitu 10),

A n B n C = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 2, 3 dan 5 (KPK dari 2, 3 dan 5, yaitu 30),

Penyelesaian

|A| = [100/2] = 50,

|B| = [100/3] = 33,

|C| = [100/5] = 20,

|A n B| = [100/6] = 16,

|B n C| = [100/15] = 6,

|A n C| = [100/10] = 10,

|A n B n C | = [100/30] = 3,

sehingga

|A U B U C| = |A| + |B| + |C| – |A n B| – |A n C| – |B n C| + |A n B n C|

= 50 + 33 + 20 – 16 – 10 – 6 + 3 = 74.

Jadi, ada 74 buah bilangan yang habis dibagi 2 atau 3 atau 5.

• Himpunan Bilangan

~ Himpunan bilangan imajiner

~ Himpunan bilangan riil

~ Himpunan bilangan rasional

~ Himpunan bilangan pecahan

~ Himpunan bilangan bulat

• Himpunan Kuasa

(power set)

A {a, b, c {a, c}, {c}, {b,c}, d}

B {x, y, z} ~ |B| = 3

                   |P(B)| = 2 PANGKAT 3 = 8

P(8) = { { } }

Bilangan cacah mulai dari 0

Nbagus = Bilangan bulat asli (natural)

Rbagus = Bilangan riil/nyata

Zbagus = Bilangan bulat

Cbagus = Bilangan cacah

< = Sub set (himpunan bilangan) < sub set coret

Gambar himpunan.

Keterangan

S = semesta

A n B

A sub set coret D ~ D sub set coret A

C sub set coret

E sub set B

Jawaban contoh himpunan.

A sub set coret = bukan bagian

A disjoint dengan C

Disjoint = saling lepas

Himpunan kuasa (power set)

A = { {a, b, c, {a, c}, {c} }

B = {x, y, z} ~ |B| = 3

                      |P(B)| = 2 PANGKAT 3 = 8

P (B) = {{}, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {x, 2}, {y, 2} B}

Cbagus = {1, {2} ~ |Cbagus| = 2 ~ PCbagus 1 = 2 PANGKAT 2 = 4

P(Cbagus) = {{}, {1}, {{2}}, C}

Jawaban kuis bersama.

{{}, {a}, {b}, {c}

{a, b}, {{a, c}}, {a, c}

{b, c}, {b{a, c}, {{c}

{c, {c}}, {a, b, c}

{a, c}, {c}}

{a, b, c} {a, b{a, c} {a, c{a, c}}, {a, {a, c}, {c}}

{b, c}, {a, c}, {b, {a, c}, {c}, {b, c, {a, c}, {c

{a, b, c, {a, c}}, {a, b, c {c}}, {a, c{a, c} {c}

Daftar Pustaka

Indarti, Dina. (2024). Himpunan. Depok: UG