Perkalian Kartesian, Definisi Relasi, Penyajian Relasi, Relasi Invers

Matematika & Ilmu Alamiah Dasar (IAD)

Relasi ke-1

Perkalian Kartesian, Definisi Relasi, Penyajian Relasi, Relasi Invers

• Perkalian kartesian

A = {a, b, c, d}

B = {1, 2, 3}

E = {a, c}

AxB = {(a, b) | a Ebagus A, b Ebagus B}

= C (lambang saja, bebas) = AxB = Relasi A kpd B

BxA = {(b, a) | a Ebagus A, b Ebagus B}

= D =BxA = Relasi B kpd A

C = AxB = Relasi A kpd B

D = BxA = Relasi B kpd A

Berarti ada 2

Contoh 1

A = {Ani, Budi, Citra, Dita}

B = {150, 160, 170}

maka

A × B = {(Ani, 150), (Ani, 160), (Ani, 170), (Budi, 150), (Budi, 160), (Budi, 170),

(Citra, 150), (Citra, 160), (Citra, 170), (Dita, 150), (Dita, 160), (Dita, 170)}

B × A = {(150, Ani), (150, Budi), (150, Citra), (150, Dita), (160, Ani), (160, Budi),

(160, Citra), (160, Dita), (170, Ani), (170, Budi), (170, Citra), (170, Dita)}

A × B ≠ B × A

|A × B| = |B × A| = 12

Sebuah relasi R yang memasangkan anggota himpunan A kepada anggota himpunan B (R: A → B) merupakan sebuah himpunan bagian (subset) dari perkalian kartesian A × B (R ⊆ A  B).

Jika sebuah relasi R didefinisikan pada himpunan A (R: A → A),

maka R ⊆ A × A.

Contoh 2

A = {Ani, Budi, Citra, Dita}

B = {150, 160, 170}

A × B = {(Ani, 150), (Ani, 160), (Ani, 170), (Budi, 150), (Budi, 160), (Budi, 170), (Citra, 150), (Citra, 160), (Citra, 170), (Dita, 150), (Dita, 160), (Dita, 170)}

A × A = {(Ani, Ani), (Ani, Budi), (Ani, Citra), (Ani, Dita), (Budi, Ani), (Budi,

Budi), (Budi, Citra), (Budi, Dita), (Citra, Ani), (Citra, Budi), (Citra,

Citra), (Citra, Dita), (Dita, Ani), (Dita, Budi), (Dita, Citra), (Dita, Dita)}

Contoh 2 (lanjutan)

Misalkan

1. R merupakan relasi yang menghubungkan antara anggota himpunan A dengan anggota himpunan B (R: A → B).

Ani memiliki tinggi badan 160 cm, Budi memiliki tinggi badan 170 cm, Citra memiliki tinggi badan 150 cm dan Dita memiliki tinggi badan 160 cm.

2. S merupakan relasi yang menghubungkan antara anggota himpunan A dengan

anggota himpunan A (S: A → A).

Ani, Citra, dan Dita berjenis kelamin perempuan, Budi berjenis kelamin laki-laki.

Relasi R dan S dinyatakan sebagai berikut:

R = {(Ani, 160), (Budi, 170), (Citra, 150), (Dita, 160)} maka R  A × B

S = {(Ani, Ani), (Ani, Citra), (Ani, Dita), (Budi, Budi), (Citra, Ani), (Citra, Citra), (Citra,

Dita), (Dita, Ani), (Dita, Citra), (Dita, Dita)} maka S ⊆ A × A

Penyajian Relasi

1. Pendaftaran

Setiap elemen relasi yang merupakan pasangan terurut didaftarkan secara rinci.

Contoh 3

R = {(Ani, 160), (Budi, 170), (Citra, 150), (Dita, 160)}

S = {(Ani, Ani), (Ani, Citra), (Ani, Dita), (Budi, Budi), (Citra, Ani),

(Citra, Citra), (Citra, Dita), (Dita, Ani), (Dita, Citra), (Dita,

Dita)}

2. Pencirian

Suatu relasi dapat dinyatakan dengan cara menuliskan ciri keanggotaan relasi tersebut.

Contoh 4

R = {(x, y) | x memiliki tinggi badan y, x € A dan y € B}

S = {(x, y) | x memiliki jenis kelamin yang sama dengan y, x, y € A}

3. Diagram Panah

Dua himpunan dihubungkan dengan tanda panah yang menyatakan relasi antara dua himpunan tersebut.

Contoh 5

4. Diagram Kartesius atau Grafik Relasi

Misalkan R: A → B. Relasi R disajikan dalam diagram kartesius di mana sumbu mendatar merupakan elemen-elemen A dan sumbu tegak merupakan elemen-elemen B.

Setiap elemen A yang berelasi dengan elemen B diberi tanda ●.

Contoh 6

5. Tabel

Kolom pertama tabel menyatakan daerah asal relasi, sedangkan kolom kedua menyatakan daerah hasil.

6. Matriks

Relasi R dari A = {a1, a2, …, a m} dan B = {b1, b2, …, bn} dapat disajikan dengan matriks M = [m 𝑖𝑗]

7. Graf Berarah

Graf G = (V, E) dengan V merupakan himpunan simpul (vertex) dan E merupakan sisi (edge).

Graf berarah merupakan graf yang setiap sisinya diberikan orientasi arah.

Tiap elemen himpunan dinyatakan dengan sebuah titik (simpul atau vertex) dan tiap pasangan terurut dinyatakan dengan busur (arc)

Misalkan relasi R dari A = {a1, a2, …, am} dan B = {b¹, b², …, b n}.

Pasangan terurut (𝑎𝑖, 𝑏𝑗) ∈ 𝑅 dinyatakan dengan busur berarah dari simpul 𝑎𝑖 ke simpul 𝑏𝑗

Setiap relasi R dari himpunan A ke himpunan B memilik invers yang dinamakan R-¹ dari himpunan B ke himpunan A.

• Notasi: R-¹ = {(y, x) | (x, y) ∈ R}

Contoh :

R = {(Ani, 160), (Budi, 170), (Citra, 150), (Dita, 160)} maka

R-¹ = {(160, Ani,), (170, Budi), (150, Citra), (160, Dita)}.

S = {(Ani, Ani), (Ani, Citra), (Ani, Dita), (Budi, Budi), (Citra, Ani), (Citra,

Citra), (Citra, Dita), (Dita, Ani), (Dita, Citra), (Dita, Dita)} maka

S-¹ = {(Ani, Ani), (Citra, Ani), (Dita, Ani), (Budi, Budi), (Ani, Citra), (Citra,

Citra), (Dita, Citra), (Ani, Dita), (Citra, Dita), (Dita, Dita)}.

• Relasi Biner Operasi Relasi

→ ~ n

→ ~ u

→ ~ +

→ ~ -

→ ~ ∆ = u - n

contoh:

R1 = {(a, b) | a € A, b € B}

R2 = {(a, c) | a € A, e e €}

R3 = {(b, e) | b € B, e e E}

R4 = {(b, a) | b € B, a € A}

B {1,2,3}

R1 = {{a, 1}, {a, 2}, {a, 3}, {b, 1}, {b, 2}, {b, 3}}

R2 = {{a, a}, {c, c}, {b, a}, {b, c}, {c, a}, {c, c}, {d, a}

R3 = {{1, a}, {1, c}, {2, a}, {2, c}, {3, 9}, {3, c}}

R4 = {{1, a}, {1, b}, {1, c}, {1, d}, {2, a}, {2, b}, {2, c}, {2, d}, {3, a}, {3, b}, {3, c}, {3, d}}

RUR2

(gabung) =

{a, 1}, {a, 2}, {a, 3}

{b, 1}, {b, 2} {b, 3}

{c, 1} {{c, 3}, {c, 3}, {d, 1}, {d, 2}, {d, 3}

{a, a}, {a, c}, {b, a}, {b, c}, {c, a}, {c, c}, ...

R3nR4

(irisan; cari yg sama) =

(d, a), (d, c)

R3R4 = {{1, a}, {1, b}, {1, c}, {1, d}

{2, a}, {2, b}, {2, c}, {2, d}

{3, a}, {3, b}, {3, c}, {3, d}

(d, a) (d, c)

(irisan sama)

R3nR4: {{1, a}, {1, b}, {1, c}, {1, d}, {2, a}, {2, b}, {2, d}, {3, a}, {3, b}, {3, c}, {3, d}

R3 subset R4: subset himpunan bagian

• Komposisi

(Sesuatu yang sama bisa dicoret)

(harus ada temannya, maka dari itu disebut relasi komposisi)

R3°R1 = (a, b) →~ (b,c)

(b, a) (a, b)

Daftar Pustaka

Indarti, Dina. (2024). Himpunan. Depok: UG